تفکر ریاضی و قوانین آن

تفکر ریاضی و قوانین آن

پیترلیجدال نویسنده مقاله تفکر ریاضی و قوانین آن، در مورد تجربیات خود در زمینه موضوعات مختلفی از ریاضی، این موضوع را مطرح کرده،  که می توان مشکل ترین مسائل ریاضی را  فقط در 5 دقیقه حل کرد. 

او با همکارانش چندین و چند بار برای حل کردن یک مسئله خاص از ریاضی تلاش کردند و در نهایت به این موضوع پی بردند، که تمام مسائل ریاضی مانند بازی می مانند و همه آنها با داشتن یک سری قوانین معین قابل حل هستند.

حتما شما هم مانند ما برایتان جالب شد که بدانید، پیتر لیجدال و همکارانش چگونه مسائل ریاضی را حل می کردند، پس ما را در ادامه این مقاله همراهی کنید:

من در اوایل سال جاری، در جلسه ای شرکت کردم که موضوع آن در مورد تفکر ریاضی بود، در آن زمان من با مشکل مهمی در ریاضی روبه رو شده بودم (پیتر لیجدال). عبارت تفکر ریاضی، به عنوان یک موضوع فزاینده و موضوعی که مربیان می‌خواستند، تا دانش آموزان را به آن تشویق کنند. با توجه به دارا بودن تعدادی از نخبگان ریاضی، ممکن است که فراموش کنیم تا یک مسئله جدید ریاضی، با عناصر اساسی آن چگونه برای دانش آموزان ما قابل حل خواهد بود.

به همین دلیل زمانی که برای صرف حل کردن مسائل جدید ریاضی داریم، می‌تواند شامل 5 دقیقه برای حل کامل آن مسئله و 5 دقیقه برای بررسی نتایج به دست آمده باشد.

جالب ترین موضوع برای من، حل مسئله‌ایی بود که من با آن بسیار مشکل داشتم.

من با سرعت زیادی توانستم تا آن را حل کنم. با خواندن و یادگیری قوانین بازی، در ذهنم این موضوع را مرور کردم که دیگر حل کردن این مسئله برای من مشکلی ندارد.

این موضوع زمانی در من ایجاد شد، که توانستم خود را متقاعد کنم، که نمی توان برای یافتن یک گنج، قوانین استراتژیک تعیین کرد. این مشکل تا 30 روز بعد به طور کامل برطرف شد.

همکاری میان گروه‌ها و تشویق آنها خیلی خوب بود. در این میان یکی از همکاران به برنامه راهبردی اشاره کرد و گفت که می‌خواهد تا در زمانی معین به گنج مورد نظر دست یابد. او در نقش یک دانش آموز معمولی و شکاک بازی کرد و توضیحاتش قانع کننده نبود. من نمی‌دانستم که چگونه باید با مشکلی که او روبه رو شده است؛ برخورد کنم. اما به قدری کنجکاو شده بودم، که می‌خواستم تا در یک زمان مناسب خودم به حل این مسئله بپردازم.

من چند بار برای حل این مسئله تلاش کردم. اما یک بار، یکی دیگر از همکاران، مجددا و با هیجان بسیار در مورد این مسئله با من گفتگو کرد. دراین مرحله اتفاق جالبی افتاد و آن این بود، که هیجان همکارم به شدت مسری بود. او به من نشان داد که این مسئله دقیقا همان چیزی است که من آن را احساس می‌کنم. در مرحله دوم او شروع به پرسیدن سوالاتی از من کرده و من را مجبور کرد، تا موضوعاتی را بر روی برگه ای از کاغد بنویسم. اولین سوال او ساده بود: اگر فقط چهار درب وجود داشته باشد و سپس چهار خط را روی تابلو رسم کرد تا چهار درب را نمایش دهد. من مردد بودم، باز پرسید اگر این درب را باز کنیم، اشاره ای به درب کرد و علامت X را کشید.

در این مرحله من راضی بودم، زیرا احتمالا گنج در پشت یکی از همین درب‌هاست. او با صبر و حوصله بسیار از من پرسید، چه اتفاقی خواهد افتاد، اگر او درب دیگری را باز می‌کرد. اما من درب دوم را انتخاب کردم، زیرا این درب دارای تقارن با سایر درب‌ها بود.

این سوالی متفاوت بود. اکنون گنج در پشت سه درب دیگر است. من با کنجکاوی بیشتر برای باز کردن سایر درب ها، در دفتر کار خود ناپدید شدم، تا بتوانم این مسئله را هم حل کنم.

این تجربه باعث شد، تا حل کردن مسائل ریاضی برایم جذاب نباشند.  بلکه با کنار گذاشتن و امتناع از حل کردن مسائل ریاضی، باعث شد تا به مکانی که برایم جالب است، رفته و مسائلی را که دارای راه حل‌های استراتژیکی است، را حل کنم.

برای من دو موضوع جالب انگیز بود و آن دقیقا مسئله ای بود که باعث ایجاد فاصله من از ریاضی شده بود و موضوع بعدی دخالت‌های همکارانم، که باعث تغییر عقیده من شده بود. معمولا دانش آموزان و معلمان در مورد اینکه آیا یک مسئله ریاضی قابل حل است یا خیر، داوری می‌کنند.

این موضوع من را به سمت دیگری سوق داد. من یک نسخه آنلاین از بازی Scrabble را تهیه کرده و متوجه شدم که موضوعی به عنوان قدرت کلمه وجود دارد، تا هنگام بازی به شما نمره داده و به شما می‌گوید که قدرت کلمه شما چقدر خوب است.

من مدت زمان طولانی تری را برای پیدا کردن قدرت کلمات صرف کردم، تا نمره سبز را بگیریم. قدرت کلمات به من نمی‌گوید که به کجا باید بروم، فقط به من می‌گوید که آیا این امکان وجود دارد که خیلی بهتر از قبل به نتایج برسم. این موضوع برای من کافی بود، که مقاومت من را در به دست آوردن نتایج بهتر بهبود بخشد.

من در حقیقت به دنبال منابع فکری برای رسیدن به نتایج و راه حل های مفید هستم. چگونه می توان از این روش مسائل ریاضی را حل کرد؟

Mathematical thinking and its rules

I encountered this particular mathematical problem (by Peter Lijedahl) earlier this year at a meeting designed to provoke discussion, and expose elements, of ‘mathematical thinking’. The phrase ‘mathematical thinking’ is one that is used increasingly as something that we as educators and designers want to encourage, deepen, and develop in students – but it is very hard to quantify and observe. As we become more experienced problem solvers (and problem selectors!) we may forget what it’s like to be faced with a completely new mathematical problem and therefore the essential elements of early mathematical thinking which may be noticeable in our students. 

So: it’s worth taking the time to examine our own thinking when we encounter new problems, to perform some forensic metacognition. If you can, spend five minutes reacting to the problem and a further five reflecting on your reaction.

Interestingly, when I did this, what I found particularly problematic about the problem above was that I didn’t like it!  

I also came to that decision frighteningly quickly. Having read it through and established the ‘rules’ of the game, I was already dismissing it in my mind as ‘not my sort of problem’. This was only reinforced when I managed to convince myself (incorrectly, I might add) that it was impossible to devise a strategy in order to locate the treasure at all, let alone in 30 days. So, problem dismissed. 

All was well until sharing and collaboration amongst our groups was encouraged. At this point one colleague proudly presented a representation of a strategy that informed her that it was possible to locate the treasure in the allotted time. Playing the role of your typical, sceptical student, I was unconvinced by her explanation. I couldn’t see how her solution dealt with the problems that I had encountered – but my curiosity was piqued enough to want to return to the problem in my own time later.

As is often the way, I didn’t return to it until several weeks later when another colleague, excited by the problem, wanted to discuss it with me. At this point something interesting happened. First of all, his excitement was infectious: he made me feel that there was more to the problem than I had first anticipated. Secondly, he didn’t care that I hadn’t got very far with the problem myself, he simply asked some questions, and encouraged (at times, forced) me to write some things down. His first question was simply: What if there were only four doors? My response was hesitant so he drew four lines on the board, to represent the four doors, and asked ‘what if you opened this door (pointing to the first door and drawing an X)?’ 

I began to respond verbally and he stopped me. He drew another set of four lines underneath and asked me to use these to record the possible places the treasure could now be (assuming that it was not initially behind that first door). 

I was quite smug at this stage as the treasure could still be behind any one of the doors and so my initial scepticism was clearly justified. With limitless patience, he asked me what would happen if I opened a different door first instead. I selected the second door, reasoning that by symmetry I would then have dealt with all possible starting points. 

This was different. The treasure could now only be in three locations. Curiosity taking over, I continued using this representation to consider the effect of opening subsequent doors and then, substantially more interested, I disappeared to my office to work further on extending the problem. 

Thinking back on this experience, it’s not the mathematical problem itself that is interesting, but the fascinating way in which I moved from dismissing it and essentially refusing to work on it, to a place where I found it interesting and successfully developed a strategy for a solution. 

I was left wondering two things: what exactly was it that I had ‘seen’ in the problem that made me take an instant dislike to it, and what was it about the interventions of my colleagues that changed my mind? Students and teachers make snap judgements all the time about whether or not a mathematical problem is worth pursuing. As teachers and designers we attempt to provide interventions that will support and encourage pursuit of the problem without revealing too much, but this is inevitably a tricky business. What was striking to me was that it took so little to shift my attitude towards the problem, and in this case the most important step was finding a way of representing it that allowed all of the information to be stored on the page rather than in my head. 

This leads me to another thought: I play an online version of Scrabble and recently noticed that there is a feature called ‘word strength’ that, when turned on will give you an indication of how good your proposed score is relative to your possible plays on the board. 

Since activating it, I have spent considerably longer searching for words that will at least score into the green end of the scale, where previously I would have just submitted a lower scoring word. The word strength feature doesn’t tell me where to go; it just tells me if it’s possible for me to do much better. That’s enough for me to have significantly improved my resilience in looking for good plays and therefore my success in the game. The realms of possibility have been sketched out for me so I have some sort of mental satnav for the problem – for me, immensely helpful in scoping for my own expectations for solutions and consequently allocating mental resources. How might we do this with mathematical problems? What might it look like? 

 

منبع: https://www.cambridgemaths.org/


پربازدید ترین مقالات مجله:

هفت راز بزرگی که پدرها و مادرها باید در دنیای دیجیتال بدانند

فرکانس امواج فکری و تاثیر آن

کمال گرایی و نحوه پذیرفتن نقایص آن

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *